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In mwaweconometria, un mwbamodello autoregressivo a eteroschedasticità condizionata o modello mwbqARCH (dall'mwbginglese mwbwAutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) è un modello utilizzato nell'analisi delle mwcaserie storiche. È una mwcqfunzione dei valori assunti dal processo agli istanti precedenti. Secondo una tipica formulazione, dato un processo mwcg { ε ε t } t {\displaystyle \{\varepsilon _{t}\}_{t}} per i mwcwrendimenti di un titolo, si ipotizza che mwda ε ε t = σ σ t z t {\displaystyle \varepsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}} , dove mwdq z t ∼ ∼ N ( 0 , 1 ) ∀ ∀ t {\displaystyle z_{t}\sim N(0,1)\ \forall ~t} e mwdg σ σ t {\displaystyle \sigma _{t}} segue un processo AR(p):

mweqmwegmwew σ σ t 2 = α α 0 + α α 1 ε ε t − − 1 2 + ⋯ ⋯ + α α p ε ε t − − p 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{p}\varepsilon _{t-p}^{2}}

in questo caso si parla di un modello ARCH(p), il quale può essere stimato usando il mwfqmetodo dei minimi quadrati.

Laddove la mwfwvarianza dei disturbi di un modello ARCH segue un processo mwgaARMA(p,q), si parla di modello GARCH(p,q) (mwgqGeneralized ARCH, o ARCH generalizzato):

mwhamwhqmwhg σ σ t 2 = α α 0 + α α 1 ε ε t − − 1 2 + ⋯ ⋯ + α α p ε ε t − − p 2 + β β 1 σ σ t − − 1 2 + ⋯ ⋯ + β β q σ σ t − − q 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{p}\varepsilon _{t-p}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{q}\sigma _{t-q}^{2}}

I processi ARCH e GARCH trovano ampio impiego nella mwiafinanza, come modelli per mwiqserie storiche di variabili finanziarie, che esibiscono mwigeteroschedasticità. Lo sviluppo dei modelli ARCH ha fruttato a mwiwRobert Engle il Premio della mwjaBanca di Svezia per le scienze economiche in memoria di mwjqAlfred Nobel (mwjgPremio Nobel per l'economia) nel mwjw2003.

• Verifica dei ritardi negli errori per modello ARCH: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

• Bibliografia

• Voci correlate

Una metodologia utile per verificare la lunghezza dei ritardi degli errori ARCH è quella del test del moltiplicatore di Lagrange, utilizzando la procedura seguente:

• Stimate il modello AR(q) che meglio si adatta alla serie storica sotto investigazione:

mwlq y t = a 0 + a 1 y t − − 1 + ⋯ ⋯ + a q y t − − q + ε ε t = a 0 + ∑ ∑ i = 1 q a i y t − − i + ε ε t {\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\varepsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\varepsilon _{t}} .

• Ottenete il quadrato degli errori e operate una regressione di questi contro una costante e q ritardi:

mwmq ε ε ^ ^ t 2 = α α ^ ^ 0 + ∑ ∑ i = 1 q α α ^ ^ i ε ε ^ ^ t − − i 2 {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t}^{2}={\hat {\alpha }}_{0}+\sum _{i=1}^{q}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\varepsilon }}_{t-i}^{2}}

• Bollerslev, T. (1986), Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, mwnqJournal of Econometrics mwng31, 307-327.

• mwoaEngle, R. (1982), Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation, mwoqEconometrica mwog50, 987-1008.

• mwpgEteroschedasticità